Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 3}{2 x^{2} + x + 1} d x$

Paso 1

Divide $2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 3$ por $2 x^{2} + x + 1$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$3$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x^{2}$ .

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$3$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} + x^{2} + x$ .

						$x$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$x$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Paso 1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

						$x$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x^{2}$ .

						$x$	-	$3$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$x$	-	$3$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x^{2} - 3 x - 3$ .

						$x$	-	$3$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
							+	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$x$	-	$3$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
							+	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
												$0$

Paso 1.11

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$\int x - 3 d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x d x + \int - 3 d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C$

Paso 5

Simplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$