Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{4} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Paso 1

Sea $x = 2 \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $4$ de $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $4 \tan^{2} (t)$ como ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $2 \sec (t)$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $2 \sec (t)$ de $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Paso 3

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Paso 4

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 6

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan^{2} (t) d t$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) d t$

Paso 8

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d t + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

Paso 11

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Paso 12

Combina $- t]_{0}^{\frac{π}{3}}$ y $\tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$2 (- t + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $- t + \tan (t)$ en $\frac{π}{3}$ y en $0$ .

$2 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

Paso 13.2

Simplifica.

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Paso 13.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

Paso 13.2.2

Suma $0$ y $\tan (0)$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

Paso 14.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

Paso 14.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

Paso 14.4

Suma $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ y $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- \frac{π}{3}) + 2 \sqrt{3}$

Paso 15.2

Multiplica $2 (- \frac{π}{3})$ .

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Paso 15.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Paso 15.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{π}{3}$ .

$\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Paso 15.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$1.36970651 \dots$

Paso 17