Cálculo Ejemplos

$\ln (1 + \frac{a}{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + \frac{a}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + \frac{a}{x}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{a}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

Paso 2.4

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{a}{x}$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 2.5

Combina fracciones.

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Paso 2.5.1

Combina $a$ y $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2.5.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Combina $\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ y $x^{- 2}$ .

$- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}$

Paso 2.7.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{a}{x}$ y $x^{2}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 3.2.3.1

Factoriza $x$ de $a x^{2}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}$

Paso 3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}$

Paso 3.2.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

Paso 3.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

Paso 3.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}$

Paso 3.2.3.2.5

Divide $a x$ por $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + a x}$

Paso 3.3

Factoriza $x$ de $x^{2} + a x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$- \frac{a}{x \cdot x + a x}$

Paso 3.3.2

Factoriza $x$ de $a x$ .

$- \frac{a}{x \cdot x + x a}$

Paso 3.3.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x a$ .

$- \frac{a}{x (x + a)}$