Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 3} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{- 3}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x$

Paso 3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x$

Paso 3.5

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Paso 5.2

Multiplica $\int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ por $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 7.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 7.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{- 3} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{e} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{e}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Evalúa $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ en $e$ y en $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{e}$

Paso 9.2

Evalúa $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ en $e$ y en $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 9.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 9.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} e^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 9.3.3

Combina $e^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 9.3.4

Mueve $e^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Paso 9.3.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Paso 9.3.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$

Paso 9.3.7

Para escribir $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 9.3.8

Combina $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})$ y $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{\ln (e)}{2 e^{2}} + \frac{\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) (2 e^{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 9.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \ln (e) + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) (2 e^{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 9.3.10

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \ln (e) + \frac{2}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2}) e^{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 9.3.11

Combina $e^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (e) + \frac{e^{2} \cdot 2}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 9.3.12

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2}$ .

$\frac{- \ln (e) + \frac{2 \cdot e^{2}}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 9.3.13

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.13.1

Cancela el factor común.

$\frac{- \ln (e) + \frac{2 e^{2}}{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 9.3.13.2

Divide $e^{2}$ por $1$ .

$\frac{- \ln (e) + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1.1

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{1}{2})}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 1 + e^{2} (- \frac{1}{2 e^{2}}) + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.1.4

Cancela el factor común de $e^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 e^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{2 e^{2}} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.1.4.2

Factoriza $e^{2}$ de $2 e^{2}$ .

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{e^{2} \cdot 2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.1.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 + e^{2} \frac{- 1}{e^{2} \cdot 2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.1.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 + \frac{- 1}{2} + e^{2} \frac{1}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.1.5

Combina $e^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- 1 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.1.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.1.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.1.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{- 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.1.10.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$\frac{\frac{- 3}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.1.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- 3 + e^{2}}{2}}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{- 3 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.3

Multiplica $\frac{- 3 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.3.1

Multiplica $\frac{- 3 + e^{2}}{2}$ por $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{2 (2 e^{2})} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{\ln (1)}{2}$

Paso 10.1.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{0}{2}$

Paso 10.1.5

Divide $0$ por $2$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}} + 0$

Paso 10.2

Suma $\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$ y $0$ .

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{- 3 + e^{2}}{4 e^{2}}$

Forma decimal:

$0.14849853 \dots$