Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 1

Sea $u = \sec (x)$ . Entonces $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \sec (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \sec (x)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Paso 1.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \sec (x)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 1.5.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 1.5.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 1.5.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 1.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 1.5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 1.5.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 1.5.3.6.5

Evalúa el exponente.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.4.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.5.4.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{\sqrt{2}} u d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{\sqrt{2}}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $\frac{1}{2} u^{2}$ en $\sqrt{2}$ y en $1$ .

$(\frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Paso 3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Paso 3.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Paso 3.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Paso 3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot 2^{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Paso 3.2.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Paso 3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Paso 3.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 3.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Paso 3.2.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 - 1}{2}$

Paso 3.2.8

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$