Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} - x + 11}{7 x^{2} - x + 2}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - x + 11}{lim_{x \to \infty} 7 x^{2} - x + 2}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal negativo es infinito negativo.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{2} - x + 2}$

Paso 1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} - x + 11}{7 x^{2} - x + 2} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2} - x + 11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2} - x + 11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} - x + 11$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [11]}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Paso 3.5

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Paso 3.6

Suma $- 2 x - 1$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [7 x^{2} - x + 2]}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} - x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Paso 3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Paso 3.8.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Paso 3.8.3

Multiplica $2$ por $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Paso 3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.9.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Paso 3.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Paso 3.9.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Paso 3.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1 + 0}$

Paso 3.11

Suma $14 x - 1$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1}{14 x - 1}$

Paso 4

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Paso 5.1.2

Divide $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{\frac{14 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Paso 5.2.2

Divide $14$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{x}}{14 - \frac{1}{x}}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 2 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Paso 5.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- 2 - 0}{lim_{x \to \infty} 14 - \frac{1}{x}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{- 2 - 0}{lim_{x \to \infty} 14 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $14$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{- 2 - 0}{14 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- 2 - 0}{14 - 0}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{- 2 + 0}{14 - 0}$

Paso 9.1.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$\frac{- 2}{14 - 0}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{- 2}{14 + 0}$

Paso 9.2.2

Suma $14$ y $0$ .

$\frac{- 2}{14}$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $14$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{14}$

Paso 9.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 7}$

Paso 9.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 7}$

Paso 9.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{7}$

Paso 9.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{7}$