Cálculo Ejemplos

$\frac{d}{d x} {(1 + \frac{7}{x})}^{x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 + \frac{7}{x})}^{x}$ como $e^{\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})}]$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (1 + \frac{7}{x})$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x \frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{7}{x})] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + \frac{7}{x}$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 + \frac{7}{x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + \frac{7}{x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{1}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{1 + \frac{7}{x}}$ y $x$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{7}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7}{x}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.6

Combina fracciones.

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Paso 5.6.1

Combina $7$ y $\frac{x}{1 + \frac{7}{x}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.6.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} (- x^{- 2}) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.8

Combina $\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}}$ y $x^{- 2}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x \cdot x^{- 2}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 (x^{- 2} x)}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $x$ .

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Paso 6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 (x^{- 2} x^{1})}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x^{- 2 + 1}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x^{- 1}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

Mueve $x^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 1)$

Paso 9

Multiplica $\ln (1 + \frac{7}{x})$ por $1$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}))$

Paso 10

Para escribir $\ln (1 + \frac{7}{x})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot \frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x})$

Paso 11

Combina $\ln (1 + \frac{7}{x})$ y $\frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ .

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \frac{\ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x})$

Paso 12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \frac{- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

Paso 13

Combina $e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}$ y $\frac{- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ .

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x))}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (1 x + \frac{7}{x} x))}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

Paso 14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (1 x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Paso 14.3

Simplifica el numerador.

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Paso 14.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.3.1.1.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Paso 14.3.1.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 14.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Paso 14.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + 7))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Paso 14.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 7)}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Paso 14.3.1.3

Multiplica $\ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 7$ .

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Paso 14.3.1.3.1

Reordena $\ln (1 + \frac{7}{x})$ y $7$ .

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + 7 \cdot \ln (1 + \frac{7}{x}))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Paso 14.3.1.3.2

Simplifica $7 \cdot \ln (1 + \frac{7}{x})$ al mover $7$ dentro del algoritmo.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7}))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Paso 14.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \cdot - 7 + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Paso 14.3.3

Mueve $- 7$ a la izquierda de $e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}$ .

$\frac{- 7 \cdot e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Paso 14.3.4

Reordena los factores en $- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

Paso 14.4

Combina los términos.

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Paso 14.4.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7}{x} x}$

Paso 14.4.2

Combina $\frac{7}{x}$ y $x$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7 x}{x}}$

Paso 14.4.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 14.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7 x}{x}}$

Paso 14.4.3.2

Divide $7$ por $1$ .

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + 7}$

Paso 14.5

Reordena los términos.

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} x \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7}) - 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}}{x + 7}$