Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{3 x - 2}}{x}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x - 2}$ como ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}] - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 3 x - 2$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 2$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 8.3

Mueve ${(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 10

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 12

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 13

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 14

Combina fracciones.

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Paso 14.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 14.2

Combina $\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ y $3$ .

$\frac{\frac{x \cdot 3}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 14.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\frac{3 \cdot x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 15

Multiplica $\frac{\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ por $\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 16

Combinar.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 17

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 18

Cancela el factor común de $2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 18.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 18.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 19

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 21

Simplifica la expresión.

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Paso 21.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 21.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 22

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 22.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 22.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{1} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 23

Simplifica.

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 24

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2) \cdot 1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 25

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2)}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 26

Simplifica.

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Paso 26.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 26.2

Simplifica el numerador.

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Paso 26.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 26.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{3 x - 6 x - 2 \cdot - 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 26.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{3 x - 6 x + 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 26.2.2

Resta $6 x$ de $3 x$ .

$\frac{- 3 x + 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Paso 26.3

Reordena los términos.

$\frac{- 3 x + 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.5

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (3 x - 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.7

Reescribe $- (3 x - 4)$ como $- 1 (3 x - 4)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 26.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x - 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$