Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} + e^{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} e^{x}$ y $g (x) = x^{2} + e^{x}$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x + e^{x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Expande $(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x}) + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x}) + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.3.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2 + 2} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{2} (e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.3.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 (x \cdot x^{2}) e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 (x^{1} x^{2}) e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{1 + 2} e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.4

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.3.4.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x} e^{x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x + x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.4.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{x} (e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.6

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.3.6.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 (e^{x} e^{x}) x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{x + x} x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.6.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - (x \cdot x^{2}) e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.2.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - (x^{1} x^{2}) e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{1 + 2} e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{3} e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.6.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} (e^{x} e^{x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{x + x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.1.6.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.2

Combina los términos opuestos en $x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{2 x}$ .

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Paso 6.2.2.1

Resta $2 x^{3} e^{x}$ de $2 x^{3} e^{x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + 0 - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$ y $0$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Reordena los factores en los términos $e^{2 x} x^{2}$ y $- x^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x} x^{2}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Resta $e^{2 x} x^{2}$ de $e^{2 x} x^{2}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x + 0}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.2.5

Suma $x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x$ y $0$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2.3

Reordena los factores en $x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x$ .

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x^{4} + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4

Factoriza $x$ de $e^{x} x^{4} + 2 e^{2 x} x$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $x$ de $e^{x} x^{4}$ .

$\frac{x (e^{x} x^{3}) + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.2

Factoriza $x$ de $2 e^{2 x} x$ .

$\frac{x (e^{x} x^{3}) + x (2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.3

Factoriza $x$ de $x (e^{x} x^{3}) + x (2 e^{2 x})$ .

$\frac{x (e^{x} x^{3} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.5

Reordena los factores en $\frac{x (e^{x} x^{3} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$