Cálculo Ejemplos

$\frac{9 x}{\sqrt{3 x^{3} - 9}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x^{3} - 9}$ como ${(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x}{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{9 x}{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${({(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{{(3 x^{3} - 9)}^{1}}$

Paso 4

Simplifica.

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x^{3} - 9}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x^{3} - 9}$

Paso 5.2

Multiplica ${(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}]}{3 x^{3} - 9}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 3 x^{3} - 9$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{3} - 9$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{3} - 9$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 10.2

Resta $2$ de $1$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(3 x^{3} - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(3 x^{3} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 11.3

Mueve ${(3 x^{3} - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 11.4

Combina $\frac{1}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 9]}{3 x^{3} - 9}$

Paso 12

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 13

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 15

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9])}{3 x^{3} - 9}$

Paso 16

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (9 x^{2} + 0)}{3 x^{3} - 9}$

Paso 17

Combina fracciones.

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Paso 17.1

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} (9 x^{2})}{3 x^{3} - 9}$

Paso 17.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - 9 \frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} x^{2}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 17.3

Combina $- 9$ y $\frac{x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} x^{2}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 17.4

Combina $\frac{- 9 x}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 x \cdot x^{2}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 18

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 18.1

Mueve $x^{2}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 (x^{2} x)}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 18.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 18.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 (x^{2} x^{1})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 18.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 x^{2 + 1}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 18.3

Suma $2$ y $1$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 20

Para escribir ${(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$9 \frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 21

Combina ${(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$9 \frac{\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 \frac{\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 23

Multiplica ${(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 23.1

Mueve ${(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \frac{\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 23.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 \frac{\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 23.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 \frac{\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 23.4

Suma $1$ y $1$ .

$9 \frac{\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 23.5

Divide $2$ por $2$ .

$9 \frac{\frac{{(3 x^{3} - 9)}^{1} \cdot 2 - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 24

Simplifica ${(3 x^{3} - 9)}^{1} \cdot 2$ .

$9 \frac{\frac{(3 x^{3} - 9) \cdot 2 - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 25

Mueve $2$ a la izquierda de $3 x^{3} - 9$ .

$9 \frac{\frac{2 \cdot (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$

Paso 26

Reescribe $\frac{\frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}}{3 x^{3} - 9}$ como un producto.

$9 (\frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 x^{3} - 9})$

Paso 27

Multiplica $\frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{3 x^{3} - 9}$ .

$9 \frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{3} - 9)}$

Paso 28

Eleva $3 x^{3} - 9$ a la potencia de $1$ .

$9 \frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 ({(3 x^{3} - 9)}^{1} {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 29

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 \frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 30

Simplifica la expresión.

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Paso 30.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$9 \frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 30.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 \frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 30.3

Suma $2$ y $1$ .

$9 \frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 31

Combina $9$ y $\frac{2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{9 (2 (3 x^{3} - 9) - 9 x^{3})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32

Simplifica.

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Paso 32.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (2 (3 x^{3}) + 2 \cdot - 9 - 9 x^{3})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 (2 (3 x^{3})) + 9 (2 \cdot - 9) + 9 (- 9 x^{3})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.3

Simplifica el numerador.

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Paso 32.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 32.3.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{9 (6 x^{3}) + 9 (2 \cdot - 9) + 9 (- 9 x^{3})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.3.1.2

Multiplica $6$ por $9$ .

$\frac{54 x^{3} + 9 (2 \cdot - 9) + 9 (- 9 x^{3})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.3.1.3

Multiplica $9 (2 \cdot - 9)$ .

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Paso 32.3.1.3.1

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$\frac{54 x^{3} + 9 \cdot - 18 + 9 (- 9 x^{3})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.3.1.3.2

Multiplica $9$ por $- 18$ .

$\frac{54 x^{3} - 162 + 9 (- 9 x^{3})}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.3.1.4

Multiplica $- 9$ por $9$ .

$\frac{54 x^{3} - 162 - 81 x^{3}}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.3.2

Resta $81 x^{3}$ de $54 x^{3}$ .

$\frac{- 27 x^{3} - 162}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.4

Factoriza $27$ de $- 27 x^{3} - 162$ .

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Paso 32.4.1

Factoriza $27$ de $- 27 x^{3}$ .

$\frac{27 (- x^{3}) - 162}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.4.2

Factoriza $27$ de $- 162$ .

$\frac{27 (- x^{3}) + 27 (- 6)}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.4.3

Factoriza $27$ de $27 (- x^{3}) + 27 (- 6)$ .

$\frac{27 (- x^{3} - 6)}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.5

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$\frac{27 (- (x^{3}) - 6)}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.6

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$\frac{27 (- (x^{3}) - 1 (6))}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - 1 (6)$ .

$\frac{27 (- (x^{3} + 6))}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.8

Reescribe $- (x^{3} + 6)$ como $- 1 (x^{3} + 6)$ .

$\frac{27 (- 1 (x^{3} + 6))}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 32.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{27 (x^{3} + 6)}{2 {(3 x^{3} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$