Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ es positiva.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.2.2

Aplica la regla del producto a $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $9$ de $9$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $9$ de $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $9$ de $9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1 + \tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.5

Reorganiza los términos.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.6

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.7

Reescribe $9 \sec^{2} (t)$ como ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Paso 2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{1}{3 \sec (t)}$ por $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \sec (t) \cdot 2} d t$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{6 \sec (t)} d t$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Factoriza $3$ de $3 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 (\sec^{2} (t))}{6 \sec (t)} d t$

Paso 2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $6 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 (\sec^{2} (t))}{3 (2 \sec (t))} d t$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 (2 \sec (t))} d t$

Paso 2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec^{2} (t)}{2 \sec (t)} d t$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $\sec^{2} (t)$ y $\sec (t)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{2 \sec (t)} d t$

Paso 2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.2.1

Factoriza $\sec (t)$ de $2 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Paso 2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Paso 2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t)}{2} d t$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1.27933953} \sec (t) d t$

Paso 4

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{1.27933953}$

Paso 5

Evalúa $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ en $1.27933953$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 + \tan (0) |))$

Paso 6.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Paso 6.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})$

Paso 6.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})}{2}$

Paso 7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

$\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)$ es aproximadamente $6.8134355$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{\ln (\frac{\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)}{| 1 |})}{2}$

Paso 7.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{\ln (\frac{\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)}{1})}{2}$

Paso 7.3

Divide $\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)$ por $1$ .

$\frac{\ln (\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953))}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\ln (\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953))}{2}$

Forma decimal:

$0.95944823 \dots$

Paso 9