Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 2.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 2.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 3

Sea $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , de modo que $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 3.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 3.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 3.1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.1.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = - 1^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Paso 3.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

Paso 3.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

Paso 4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{u} d u$

Paso 5

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} e^{u} d u$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{u}]_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}})$

Paso 7

Evalúa $e^{u}$ en $- t^{\frac{1}{2}}$ y en $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1})$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Evalúa el límite.

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Paso 8.1.1

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1}$

Paso 8.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- 2 (lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

Paso 8.2

Como el exponente $- t^{\frac{1}{2}}$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- t^{\frac{1}{2}}}$ se acerca a $0$ .

$- 2 (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

Paso 8.3

Evalúa el límite.

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Paso 8.3.1

Evalúa el límite de $e^{- 1}$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$- 2 (0 - e^{- 1})$

Paso 8.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.3.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (0 - \frac{1}{e})$

Paso 8.3.2.2

Resta $\frac{1}{e}$ de $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{e})$

Paso 8.3.2.3

Multiplica $- 2 (- \frac{1}{e})$ .

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Paso 8.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \frac{1}{e}$

Paso 8.3.2.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{e}$

Forma decimal:

$0.73575888 \dots$