Cálculo Ejemplos

$y'''' + y'''''''' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

Paso 1

Obtén $y'$ .

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Paso 1.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.2

Diferencia.

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Paso 1.3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Paso 1.3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.2.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Paso 1.3.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2 e^{2 x}$

Paso 2

Obtén $y''$ .

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Paso 2.1

Establece la derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.4

Elimina los paréntesis.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

Paso 2.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

Paso 3

Obtén $y'''$ .

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Paso 3.1

Establece la derivada.

$y''' = \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Paso 3.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''' = 4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$y''' = 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y''' = 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y''' = 4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.4

Elimina los paréntesis.

$y''' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''' = 4 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$y''' = 8 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y''' = 8 e^{2 x} \cdot 1$

Paso 3.8

Multiplica $8$ por $1$ .

$y''' = 8 e^{2 x}$

Paso 4

Obtén $y''''$ .

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Paso 4.1

Establece la derivada.

$y'''' = \frac{d}{d x} [8 e^{2 x}]$

Paso 4.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''' = 8 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$y'''' = 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y'''' = 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y'''' = 8 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4.4

Elimina los paréntesis.

$y'''' = 8 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''' = 8 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6

Multiplica $2$ por $8$ .

$y'''' = 16 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y'''' = 16 e^{2 x} \cdot 1$

Paso 4.8

Multiplica $16$ por $1$ .

$y'''' = 16 e^{2 x}$

Paso 5

Obtén $y'''''$ .

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Paso 5.1

Establece la derivada.

$y''''' = \frac{d}{d x} [16 e^{2 x}]$

Paso 5.2

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''''' = 16 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 5.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$y''''' = 16 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y''''' = 16 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 5.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y''''' = 16 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 5.4

Elimina los paréntesis.

$y''''' = 16 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 5.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''''' = 16 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.6

Multiplica $2$ por $16$ .

$y''''' = 32 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y''''' = 32 e^{2 x} \cdot 1$

Paso 5.8

Multiplica $32$ por $1$ .

$y''''' = 32 e^{2 x}$

Paso 6

Obtén $y''''''$ .

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Paso 6.1

Establece la derivada.

$y'''''' = \frac{d}{d x} [32 e^{2 x}]$

Paso 6.2

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''''' = 32 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 6.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$y'''''' = 32 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 6.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y'''''' = 32 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 6.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y'''''' = 32 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 6.4

Elimina los paréntesis.

$y'''''' = 32 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''''' = 32 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 6.6

Multiplica $2$ por $32$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x} \cdot 1$

Paso 6.8

Multiplica $64$ por $1$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x}$

Paso 7

Obtén $y'''''''$ .

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Paso 7.1

Establece la derivada.

$y''''''' = \frac{d}{d x} [64 e^{2 x}]$

Paso 7.2

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $64 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''''''' = 64 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 7.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 7.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$y''''''' = 64 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 7.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y''''''' = 64 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 7.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y''''''' = 64 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 7.4

Elimina los paréntesis.

$y''''''' = 64 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''''''' = 64 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7.6

Multiplica $2$ por $64$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x} \cdot 1$

Paso 7.8

Multiplica $128$ por $1$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x}$

Paso 8

Obtén $y''''''''$ .

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Paso 8.1

Establece la derivada.

$y'''''''' = \frac{d}{d x} [128 e^{2 x}]$

Paso 8.2

Como $128$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $128 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $128 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''''''' = 128 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 8.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 8.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$y'''''''' = 128 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y'''''''' = 128 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 8.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y'''''''' = 128 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 8.4

Elimina los paréntesis.

$y'''''''' = 128 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 8.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''''''' = 128 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.6

Multiplica $2$ por $128$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x} \cdot 1$

Paso 8.8

Multiplica $256$ por $1$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x}$

Paso 9

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$16 e^{2 x} + 256 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Paso 10

Suma $16 e^{2 x}$ y $256 e^{2 x}$ .

$272 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Paso 11

La solución dada no satisface la ecuación diferencial dada.

$y = e^{2 x}$ no es una solución para $y'''' + y'''''''' = 6 e^{2 x}$