Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} - 5}{2^{x} + 7}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x} - 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x} - lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Paso 1.1.2.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $2^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Paso 1.1.2.3

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Paso 1.1.2.3.2

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{\infty - 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Paso 1.1.2.3.2.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + lim_{x \to \infty} 7}$

Paso 1.1.3.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $2^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 7}$

Paso 1.1.3.3

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 7}$

Paso 1.1.3.4

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.1.3.5

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} - 5}{2^{x} + 7} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2^{x} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Paso 1.3.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Paso 1.3.5

Suma $2^{x} \ln (2)$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $2^{x} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [7]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [7]}$

Paso 1.3.8

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $2^{x} \ln (2)$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

Paso 1.4

Reduce.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Cancela el factor común de $2^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

Paso 1.4.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} 1$

Paso 2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$1$