Cálculo Ejemplos

$\frac{x y}{x + y}$

Paso 1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x y}{x + y}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\frac{y}{x + y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{y}{x + y}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = x + y$ .

$x \frac{(x + y) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \frac{(x + y) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $x + y$ por $1$ .

$x \frac{x + y - y \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{x + y - y (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$x \frac{x + y - y (0 + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{x + y - y \frac{d}{d y} [y]}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \frac{x + y - y \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.7

Simplifica los términos.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x \frac{x + y - y}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.7.2

Resta $y$ de $y$ .

$x \frac{x + 0}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.7.3

Suma $x$ y $0$ .

$x \frac{x}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 3.7.4

Combina $x$ y $\frac{x}{{(x + y)}^{2}}$ .

$\frac{x \cdot x}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1}}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1}}{{(x + y)}^{2}}$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x + y)}^{2}}$