Cálculo Ejemplos

$\int_{- \infty}^{0} e^{2 x} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} e^{2 x} d x$

Paso 2

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 t$

Paso 2.3

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2 t$

$u_{upper} = 0$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} \int_{2 t}^{0} e^{u} d u$

Paso 5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} e^{u}]_{2 t}^{0}$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{u}]_{2 t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{e^{u}]_{2 t}^{0}}{2}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $e^{u}$ en $0$ y en $2 t$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{(e^{0}) - e^{2 t}}{2}$

Paso 7.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{2 t}}{2}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Evalúa el límite.

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Paso 8.1.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{2 t}$

Paso 8.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

Paso 8.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

Paso 8.2

Como el exponente $2 t$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{2 t}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} (1 - 0)$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.3.1

Resta $0$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 8.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$