Cálculo Ejemplos

$\int (- \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int - \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- (4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x)$

Paso 4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

Paso 5

Sea $x = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Simplifica $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}$ .

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Paso 6.1.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 6.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 6.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 6.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 6.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 6.1.1.5

Evalúa el exponente.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 6.1.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 6.1.3

Factoriza $3$ de $- 3 \sin^{2} (t)$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Paso 6.1.4

Factoriza $3$ de $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Paso 6.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 6.1.6

Reordena $3$ y $\cos^{2} (t)$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cos (t) d t$

Paso 6.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cos (t) d t$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $\cos (t)$ de $\cos (t) \sqrt{3}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) (\sqrt{3})} \cos (t) d t$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cos (t) d t$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3}} d t$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$- 4 (\frac{1}{\sqrt{3}} t + C)$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Reescribe $- 4 (\frac{1}{\sqrt{3}} t + C)$ como $- 4 (\frac{\sqrt{3}}{3} t) + C$ .

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{3} t) + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $\frac{\sqrt{3}}{3}$ y $t$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3} t}{3} + C$

Paso 8.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{\sqrt{3} t}{3}$ .

$\frac{- 4 (\sqrt{3} t)}{3} + C$

Paso 8.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 \sqrt{3} t}{3} + C$

Paso 8.3

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (x)$ .

$- \frac{4 \sqrt{3} \arcsin (x)}{3} + C$

Paso 8.4

Reordena los términos.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \arcsin (x) + C$