Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ , $a = 1$

Paso 1

Considera la función utilizada para buscar la linealización en $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Paso 2

Sustituye el valor de $a = 1$ en la función de linealización.

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

Paso 3

Evalúa $f (1)$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = (1) + \frac{1}{1}$

Paso 3.2

Simplifica $(1) + \frac{1}{1}$ .

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$(1) + \frac{1}{1}$

Paso 3.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$1 + 1$

Paso 3.2.3

Suma $1$ y $1$ .

$2$

Paso 4

Obtén la derivada y evalúala en $1$ .

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Paso 4.1

Obtén la derivada de $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4.1.4

Reordena los términos.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Paso 4.2

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{1}{{(1)}^{2}} + 1$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{1} + 1$

Paso 4.3.1.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{1} + 1$

Paso 4.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1 + 1$

Paso 4.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 1$

Paso 4.3.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$0$

Paso 5

Sustituye los componentes en la función de linealización para obtener la linealización en $a$ .

$L (x) = 2 + 0 (x - 1)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $0$ por $x - 1$ .

$L (x) = 2 + 0$

Paso 6.2

Suma $2$ y $0$ .

$L (x) = 2$

Paso 7