Cálculo Ejemplos

$\frac{2 d y}{3 d x} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d y}{d x} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$\frac{2}{3} d y = {(x - 2)}^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2}{3} d y = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = x - 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.1.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int u^{2} d u$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y)$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $y$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.3.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $\frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $K$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

Paso 3.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

Paso 3.2.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + K \cdot 3)$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve $3$ a la izquierda de $K$ .

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + 3 K)$

Paso 3.2.2.1.5

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} + \frac{1}{2} (3 K)$

Paso 3.2.2.1.5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{1}{2} (3 K)$

Paso 3.2.2.1.6

Multiplica $\frac{1}{2} (3 K)$ .

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Paso 3.2.2.1.6.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} K$

Paso 3.2.2.1.6.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $K$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Paso 3.2.2.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{{(x - 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Usa el teorema del binomio.

$y = \frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Paso 3.3.2.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Paso 3.3.2.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + 3 K}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + K}{2}$