Cálculo Ejemplos

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Paso 1

Sea $y = f (x)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$ ; para ello, mueve $\ln (x)$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\ln (x))$

Paso 3

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que $y$ es una función de $x$ .

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Paso 3.1

Diferencia el lado izquierdo $\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\ln (x))$

Paso 3.2

Diferencia el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Diferencia $\ln (x) \ln (\ln (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.4.1

Combina $\frac{1}{\ln (x)}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.4.2

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 3.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y'}{y} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.4.3

Multiplica $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.5

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.2.6

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{1}{x}$

Paso 3.2.7

Combina $\ln (\ln (x))$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

Paso 4

Aísla $y'$ y sustituye la función original de $y$ en el lado derecho.

$y' = (\frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x}) {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \frac{1}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\ln (x))}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)}$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{x}$ y ${\ln (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x} {\ln (x)}^{\ln (x)}$

Paso 5.3

Combina $\frac{\ln (\ln (x))}{x}$ y ${\ln (x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x)) {\ln (x)}^{\ln (x)}}{x}$

Paso 5.4

Reordena los factores en $\frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{\ln (\ln (x)) {\ln (x)}^{\ln (x)}}{x}$ .

$y' = \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)}}{x} + \frac{{\ln (x)}^{\ln (x)} \ln (\ln (x))}{x}$