Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

Paso 4

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 4.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 7.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \int u^{- 2} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $- (- u^{- 1} + C)$ como $- - \frac{1}{u} + C$ .

$- - \frac{1}{u} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{u} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $1$ .

$\frac{1}{u} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$\frac{1}{1 - x} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{1 - x} + C$