Cálculo Ejemplos

$y = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

Paso 1

Sea $y = f (x)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

Paso 2

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que $y$ es una función de $x$ .

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Paso 2.1

Diferencia el lado izquierdo $\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

Paso 2.2

Diferencia el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Diferencia $\ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{- x} + x e^{- x}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $e^{- x} + x e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

Paso 2.2.3.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{- x} + x e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 2.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}}$ por $\frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

Paso 2.2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{- x} + x e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $- x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 2.2.5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 2.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $- x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 2.2.6

Diferencia.

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Paso 2.2.6.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 2.2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 2.2.6.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.6.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 2.2.6.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 2.2.6.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Paso 2.2.7

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.2.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{4}$ como $- x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.8.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ es $a^{u_{4}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{4}$ con $- x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.9

Diferencia.

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Paso 2.2.9.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.9.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.9.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.9.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.9.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

Paso 2.2.9.5

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.9.5.1

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x})$

Paso 2.2.9.5.2

Suma $- e^{- x}$ y $e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (x (- e^{- x}) + 0)$

Paso 2.2.9.5.3

Suma $x (- e^{- x})$ y $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (x (- e^{- x}))$

Paso 2.2.9.5.4

Combina $x$ y $\frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x})$

Paso 2.2.9.5.5

Combina $\frac{x}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ y $e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

Paso 2.2.10

Simplifica.

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Paso 2.2.10.1

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} + x e^{- x}$ .

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Paso 2.2.10.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} \cdot 1 + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

Paso 2.2.10.1.2

Factoriza $e^{- x}$ de $x e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

Paso 2.2.10.1.3

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

Paso 2.2.10.2

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 2.2.10.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

Paso 2.2.10.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{(1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

Paso 2.2.10.3

Reordena los factores en $- \frac{x}{(1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)}$

Paso 3

Aísla $y'$ y sustituye la función original de $y$ en el lado derecho.

$y' = - \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ .

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Paso 4.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)}$ al numerador.

$y' = \frac{- x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x}{1 + x}$

Paso 4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{1 + x}$