Cálculo Ejemplos

$m (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot ((x - 2) (x - 2))$

Paso 2

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Paso 3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$m (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 4 x + 4)$

Paso 4

Aplica la propiedad distributiva.

$m (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 4 x) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$m (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 4 x) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$m (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común.

$m (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Paso 5.2.3

Reescribe la expresión.

$m (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot 4$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$m (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2))$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$m (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$m (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2$

Paso 6

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 7

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 7.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{- 2}{2 (0.5)}$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{- 2}{2 (0.5)}$

Paso 7.3

Simplifica $- \frac{- 2}{2 (0.5)}$ .

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 7.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 0.5}$

Paso 7.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 0.5$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 (0.5)}$

Paso 7.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 0.5}$

Paso 7.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{- 1}{0.5}$

Paso 7.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.2.1

Divide $- 1$ por $0.5$ .

$x = - - 2$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$x = 2$

Paso 8

Evalúa $f (2)$ .

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$m (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - 2 \cdot 2 + 2$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Obtén el denominador común

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Paso 8.2.1.1

Escribe $- 2 \cdot 2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$m (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{1} + 2$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $\frac{- 2 \cdot 2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$m (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{1} \cdot \frac{2}{2} + 2$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $\frac{- 2 \cdot 2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$m (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2 \cdot 2}{2} + 2$

Paso 8.2.1.4

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$m (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1}$

Paso 8.2.1.5

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$m (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 8.2.1.6

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$m (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Paso 8.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$m (2) = \frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2}$

Paso 8.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$m (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2}$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $- 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 8.2.3.2.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$m (2) = \frac{4 - 4 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2}$

Paso 8.2.3.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$m (2) = \frac{4 - 8 + 2 \cdot 2}{2}$

Paso 8.2.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$m (2) = \frac{4 - 8 + 4}{2}$

Paso 8.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.4.1

Resta $8$ de $4$ .

$m (2) = \frac{- 4 + 4}{2}$

Paso 8.2.4.2

Suma $- 4$ y $4$ .

$m (2) = \frac{0}{2}$

Paso 8.2.4.3

Divide $0$ por $2$ .

$m (2) = 0$

Paso 8.2.5

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 9

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(2, 0)$

Paso 10