Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}} - \frac{3}{x^{5}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}} - \frac{3}{x^{5}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}} - \frac{3}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{\frac{4}{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.6.2

Resta $5$ de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.8

Combina $\frac{4}{5}$ y $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.9

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{2 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.10

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{10 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.12

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2)}{10 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.13.1

Factoriza $2$ de $10 x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{2 (2)}{2 (5 x^{\frac{1}{5}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (5 x^{\frac{1}{5}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{5}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Paso 3.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Paso 3.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Paso 3.3.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Paso 3.3.7

Multiplica $x^{- 10}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.7.1

Mueve $x^{4}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Paso 3.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- 5 x^{4 - 10})$

Paso 3.3.7.3

Resta $10$ de $4$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 3 (- 5 x^{- 6})$

Paso 3.3.8

Multiplica $- 5$ por $- 3$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 15 x^{- 6}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 15 \frac{1}{x^{6}}$

Paso 3.4.2

Combina $15$ y $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{15}{x^{6}}$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$\frac{15}{x^{6}} + \frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{15}{x^{6}} + \frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{x^{6}} + \frac{2}{5 x^{\frac{1}{5}}}$