Cálculo Ejemplos

$\int (\frac{x^{6} - 5 x}{x^{2}}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int \frac{x^{6} - 5 x}{x^{2}} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{6} - 5 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{6}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{5} - 5 x}{x^{2}} d x$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{5} + x \cdot - 5}{x^{2}} d x$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{5} + x \cdot - 5$ .

$\int \frac{x (x^{5} - 5)}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\int \frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x} d x$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x} d x$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{x^{5} - 5}{x} d x$

Paso 3

Divide $x^{5} - 5$ por $x$ .

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Paso 3.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Paso 3.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{5}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Paso 3.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{5}$

$0$

Paso 3.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{5} + 0$ .

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{5}$

$0$

Paso 3.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{5}$

$0$

Paso 3.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{5}$

$0$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 3.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int x^{4} - \frac{5}{x} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{4} d x + \int - \frac{5}{x} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int - \frac{5}{x} d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - \int \frac{5}{x} d x$

Paso 7

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - (5 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 8

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 5 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 5 (\ln (| x |) + C)$

Paso 10

Simplifica.

$\frac{1}{5} x^{5} - 5 \ln (| x |) + C$