Cálculo Ejemplos

$y = 2 \sqrt{x}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.9

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.10

Combina $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $2$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.11

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.12

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.13

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x'$

Paso 4.14

Combina $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $x'$ .

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{x'}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Resuelve $x'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}}} = 1$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x' = 1 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x' = x^{\frac{1}{2}}$

Paso 7

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = x^{\frac{1}{2}}$