Cálculo Ejemplos

$y = t \ln^{2} (4 t)$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$y = t \ln^{2} (4 t)$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (4 t))$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $t$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = \ln^{2} (4 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (4 t)] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \ln (4 t)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (4 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (4 t)$ .

$t (2 \ln (4 t) \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = 4 t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 t$ .

$t (2 \ln (4 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.3.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (4 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 t$ .

$t (2 \ln (4 t) (\frac{1}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Combina $\frac{1}{4 t}$ y $2$ .

$t (\frac{2}{4 t} \ln (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1

Combina $\frac{2}{4 t}$ y $\ln (4 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (4 t)}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \ln (4 t)$ .

$t (\frac{2 (\ln (4 t))}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4 t$ .

$t (\frac{2 (\ln (4 t))}{2 (2 t)} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$t (\frac{2 \ln (4 t)}{2 (2 t)} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$t (\frac{\ln (4 t)}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2.3

Combina $\frac{\ln (4 t)}{2 t}$ y $t$ .

$\frac{\ln (4 t) t}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2.4

Cancela el factor común de $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (4 t) t}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (4 t)}{2} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.3

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 t$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\ln (4 t)}{2} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.4

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.4.1

Combina $4$ y $\frac{\ln (4 t)}{2}$ .

$\frac{4 \ln (4 t)}{2} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.4.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $4 \ln (4 t)$ .

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \ln (4 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.4.2.2.4

Divide $2 \ln (4 t)$ por $1$ .

$2 \ln (4 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \ln (4 t) \cdot 1 + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t) \cdot 1$

Paso 4.4.8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.8.1

Multiplica $\ln^{2} (4 t)$ por $1$ .

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t)$

Paso 4.4.8.2

Reordena los términos.

$\ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$