Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\infty} x e^{- 2 x} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- 2 x} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 2 x}$ .

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Paso 3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Paso 4

Dado que $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

Paso 6

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 6.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Paso 6.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 t$

Paso 6.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

Paso 6.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 7.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u))$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

Paso 11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

Paso 12

Combina $e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ y $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $- \frac{x e^{- 2 x}}{2}$ en $t$ y en $0$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

Paso 13.2

Evalúa $e^{u}$ en $- 2 t$ y en $0$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Paso 13.3

Simplifica.

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Paso 13.3.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Paso 13.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Paso 13.3.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Paso 13.3.4

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 13.3.4.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Paso 13.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Paso 13.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Paso 13.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Paso 13.3.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + 0 - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Paso 13.3.5

Suma $- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ y $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Paso 13.3.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{4}$

Paso 13.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Paso 13.3.8

Para escribir $- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Paso 13.3.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 13.3.9.1

Multiplica $\frac{t e^{- 2 t}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Paso 13.3.9.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{4} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Paso 13.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to \infty} \frac{- t e^{- 2 t} \cdot 2 - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Paso 13.3.11

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 t e^{- 2 t} - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 t e^{- 2 t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Paso 14.2

Factoriza $- 1$ de $- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Paso 14.3

Reescribe $- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ como $- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Paso 14.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

Paso 15

Evalúa el límite.

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Paso 15.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

Paso 15.2

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1$

Paso 15.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.5

Reescribe $t e^{- 2 t}$ como $\frac{t}{e^{2 t}}$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.6

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 15.6.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 15.6.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$- \frac{1}{4} (2 \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.6.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.6.1.3

Como el exponente $2 t$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{2 t}$ se acerca a $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.6.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.6.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]}$

Paso 15.6.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 15.6.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.6.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.6.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 15.6.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.6.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.6.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.6.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \frac{d}{d t} [t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.6.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \cdot 1} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.6.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.6.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 t}$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.7

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{e^{2 t}}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.9

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.10

Como el exponente $- 2 t$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- 2 t}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 15.11

Evalúa el límite.

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Paso 15.11.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 1)$

Paso 15.11.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.11.2.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1 \cdot 1)$

Paso 15.11.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1)$

Paso 15.11.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

Paso 15.11.2.3

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

Paso 15.11.2.4

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Paso 15.11.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Paso 15.11.2.4.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$