Cálculo Ejemplos

$x = \frac{1}{3} \sqrt{y} (y - 3)$ , $1 \leq y \leq 9$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Paso 2

Elimina los paréntesis.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Paso 3

Simplifica $\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y + \sqrt{y} \cdot - 3)$

Paso 3.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $\sqrt{y}$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y - 3 \cdot \sqrt{y})$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{1}{3} (\sqrt{y} y) + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{1}{3} (\sqrt{y} y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Combina $\sqrt{y}$ y $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{\sqrt{y}}{3} y + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Paso 3.4.2

Combina $\frac{\sqrt{y}}{3}$ y $y$ .

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Factoriza $3$ de $- 3 \sqrt{y}$ .

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

Paso 3.5.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$

Paso 4

Comprueba si $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ es continua.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Para determinar si la función es continua en $[1, 9]$ o no, obtén el dominio de $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Establece el radicando en $\sqrt{y}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$y \geq 0$

Paso 4.1.2

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \geq 0}$

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \geq 0}$

Paso 4.2

$f (y)$ es continua en $[1, 9]$ .

La función es continua.

Paso 5

Comprueba si $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ es diferenciable.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Obtén la derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.2

Multiplica $y^{\frac{1}{2}}$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.2.2.1

Multiplica $y^{\frac{1}{2}}$ por $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.2.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.2.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.3

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.2.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.8.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.9

Combina $\frac{3}{2}$ y $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.10

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.11

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.12

Factoriza $3$ de $3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.13

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.2.13.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 5.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5.1.1.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 5.1.1.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 5.1.1.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 5.1.1.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 5.1.1.3.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 5.1.1.3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 5.1.1.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Paso 5.1.1.3.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.1.1.3.10

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.2

La primera derivada de $f (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

Obtén si la derivada es continua en $[1, 9]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Para determinar si la función es continua en $[1, 9]$ o no, obtén el dominio de $f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

Paso 5.2.1.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

Paso 5.2.1.1.4

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y}}$

Paso 5.2.1.2

Establece el radicando en $\sqrt{y}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$y \geq 0$

Paso 5.2.1.3

Establece el denominador en $\frac{1}{2 \sqrt{y}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{y} = 0$

Paso 5.2.1.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = 0^{2}$

Paso 5.2.1.4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 5.2.1.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.4.2.2.1

Simplifica ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.4.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 5.2.1.4.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 5.2.1.4.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.4.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 5.2.1.4.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.4.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 5.2.1.4.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 y^{1} = 0^{2}$

Paso 5.2.1.4.2.2.1.4

Simplifica.

$4 y = 0^{2}$

Paso 5.2.1.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 y = 0$

Paso 5.2.1.4.3

Divide cada término en $4 y = 0$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.4.3.1

Divide cada término en $4 y = 0$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 5.2.1.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.4.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 5.2.1.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Paso 5.2.1.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.4.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$y = 0$

Paso 5.2.1.5

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y > 0}$

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y > 0}$

Paso 5.2.2

$f' (y)$ es continua en $[1, 9]$ .

La función es continua.

Paso 5.3

La función es diferenciable en $[1, 9]$ porque la derivada es continua en $[1, 9]$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

Para garantizar la longitud del arco, la función y su derivada deben ser ambas continuas en el intervalo cerrado $[1, 9]$ .

La función y su derivada son continuas en el intervalo cerrado $[1, 9]$ .

Paso 7

Obtén la derivada de $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.2

Multiplica $y^{\frac{1}{2}}$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Multiplica $y^{\frac{1}{2}}$ por $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.2.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.3

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.8.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.9

Combina $\frac{3}{2}$ y $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.10

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.11

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.12

Factoriza $3$ de $3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.13

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.13.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Paso 7.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 7.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 7.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 7.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 7.3.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 7.3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 7.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Paso 7.3.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 7.3.10

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8

Para obtener la longitud del arco de una función, usa la fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ .

$\int_{1}^{9} \sqrt{1 + {(\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d y$

Paso 9