Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - x^{2}}$ como ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{1}}$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Paso 5.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Paso 10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Paso 11.3

Mueve ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Paso 11.4

Combina $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Paso 12

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Paso 13

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Paso 14

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Paso 15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Paso 16

Multiplica.

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Paso 16.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 1 \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Paso 16.2

Multiplica $\frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Paso 17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{4 - x^{2}}$

Paso 18

Combina fracciones.

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Paso 18.1

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{4 - x^{2}}$

Paso 18.2

Combina $\frac{2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{2} x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 19

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 21

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{3}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 22

Cancela el factor común.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{3}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 23

Reescribe la expresión.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{3}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 24

Reordena $4$ y $- x^{2}$ .

$\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 25

Para escribir $2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 27

Multiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 27.1

Mueve ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 27.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 27.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 27.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 27.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{1} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 28

Simplifica $2 x {(- x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Paso 29

Reescribe $\frac{\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$ como un producto.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 - x^{2}}$

Paso 30

Multiplica $\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{4 - x^{2}}$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 - x^{2})}$

Paso 31

Reordena los términos.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Paso 32

Multiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 4$ sumando los exponentes.

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Paso 32.1

Multiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 4$ .

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Paso 32.1.1

Eleva $- x^{2} + 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{1}}$

Paso 32.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 32.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 32.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 32.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33

Simplifica.

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Paso 33.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.2

Simplifica el numerador.

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Paso 33.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 33.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.2.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 33.2.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.2.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 33.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.2.1.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 8 x + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.2.2

Suma $- 2 x^{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{- x^{3} + 8 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.3

Factoriza $x$ de $- x^{3} + 8 x$ .

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Paso 33.3.1

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$\frac{x (- x^{2}) + 8 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.3.2

Factoriza $x$ de $8 x$ .

$\frac{x (- x^{2}) + x \cdot 8}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.3.3

Factoriza $x$ de $x (- x^{2}) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (- x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.4

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- (x^{2}) + 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.5

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x^{2}) - 1 (- 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x^{2} - 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.7

Reescribe $- (x^{2} - 8)$ como $- 1 (x^{2} - 8)$ .

$\frac{x (- 1 (x^{2} - 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 33.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x (x^{2} - 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$