Cálculo Ejemplos

$\sqrt{2 x^{3}}$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x^{3}}]$ como $\frac{d}{d x} [x \sqrt{2 x}]$ .

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Paso 1.1

Reescribe $2 x^{3}$ como $x^{2} \cdot (2 x)$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 (x^{2} x)}]$

Paso 1.1.2

Reordena $2$ y $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot 2 x}]$

Paso 1.1.3

Agrega paréntesis.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot (2 x)}]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{2 x}]$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [x (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Paso 7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Paso 7.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 8

Como $2^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 10

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 11

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 13

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 13.2

Resta $2$ de $3$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 14

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 15

Combina $2^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 16

Simplifica la expresión.

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Paso 16.1

Mueve $3$ a la izquierda de $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.2

Mueve $2^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 17

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 17.1

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 17.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 17.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2^{1 - \frac{1}{2}}}$

Paso 17.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Paso 17.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2 - 1}{2}}}$

Paso 17.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$