Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{3} (- x^{3} + 3 x^{2} + 1) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 1}^{3} - x^{3} + 3 x^{2} + 1 d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{3} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{- 1}^{3} x^{3} d x + \int_{- 1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + 3 \int_{- 1}^{3} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} d x$

Paso 8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} d x$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + x]_{- 1}^{3}$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $3$ y en $- 1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + x]_{- 1}^{3}$

Paso 10.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $3$ y en $- 1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{3}$

Paso 10.3

Evalúa $x$ en $3$ y en $- 1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4

Simplifica.

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Paso 10.4.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{81 - 1}{4} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.4

Resta $1$ de $81$ .

$- \frac{80}{4} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.5

Cancela el factor común de $80$ y $4$ .

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Paso 10.4.5.1

Factoriza $4$ de $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.5.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{20}{1} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.5.2.4

Divide $20$ por $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.6

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$- 20 + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.7

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- 20 + 3 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.8

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 10.4.8.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$- 20 + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.8.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- 20 + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.8.2.2

Cancela el factor común.

$- 20 + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.8.2.3

Reescribe la expresión.

$- 20 + 3 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.8.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$- 20 + 3 (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 20 + 3 (9 - \frac{- 1}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 20 + 3 (9 - - \frac{1}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 20 + 3 (9 + 1 (\frac{1}{3})) + (3) + 1$

Paso 10.4.12

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- 20 + 3 (9 + \frac{1}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.13

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 20 + 3 (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.14

Combina $9$ y $\frac{3}{3}$ .

$- 20 + 3 (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 20 + 3 \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + (3) + 1$

Paso 10.4.16

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.16.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$- 20 + 3 \frac{27 + 1}{3} + (3) + 1$

Paso 10.4.16.2

Suma $27$ y $1$ .

$- 20 + 3 (\frac{28}{3}) + (3) + 1$

Paso 10.4.17

Combina $3$ y $\frac{28}{3}$ .

$- 20 + \frac{3 \cdot 28}{3} + (3) + 1$

Paso 10.4.18

Multiplica $3$ por $28$ .

$- 20 + \frac{84}{3} + (3) + 1$

Paso 10.4.19

Cancela el factor común de $84$ y $3$ .

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Paso 10.4.19.1

Factoriza $3$ de $84$ .

$- 20 + \frac{3 \cdot 28}{3} + (3) + 1$

Paso 10.4.19.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.19.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- 20 + \frac{3 \cdot 28}{3 (1)} + (3) + 1$

Paso 10.4.19.2.2

Cancela el factor común.

$- 20 + \frac{3 \cdot 28}{3 \cdot 1} + (3) + 1$

Paso 10.4.19.2.3

Reescribe la expresión.

$- 20 + \frac{28}{1} + (3) + 1$

Paso 10.4.19.2.4

Divide $28$ por $1$ .

$- 20 + 28 + (3) + 1$

Paso 10.4.20

Suma $- 20$ y $28$ .

$8 + (3) + 1$

Paso 10.4.21

Suma $3$ y $1$ .

$8 + 4$

Paso 10.4.22

Suma $8$ y $4$ .

$12$

Paso 11