Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (x)}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.5.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.5.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.7

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.8

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.10

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.12

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.13.1

Reordena $- \sin^{2} (x)$ y $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.3

Expande $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.13.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.4

Combina los términos opuestos en $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.13.4.1

Reordena los factores en los términos $\cos (x) (- \sin (x))$ y $\sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.4.2

Suma $- \cos (x) \sin (x)$ y $\cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.4.3

Suma $\cos (x) \cos (x)$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.13.5.1

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.13.5.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.5.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.5.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.5.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.5.3

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.13.5.3.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.5.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.5.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.5.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.13.6

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{1}$

Paso 1.4

Divide $\cos (2 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

Paso 2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

Paso 2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to 0} x)$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\cos (2 \cdot 0)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\cos (0)$

Paso 4.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1$