Cálculo Ejemplos

$y'''' = \frac{3 y}{x}$ , $y = x^{3}$

Paso 1

Obtén $y'$ .

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 1.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 3 x^{2}$

Paso 2

Obtén $y''$ .

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Paso 2.1

Establece la derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y'' = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y'' = 3 (2 x)$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$y'' = 6 x$

Paso 3

Obtén $y'''$ .

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Paso 3.1

Establece la derivada.

$y''' = \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 3.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''' = 6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y''' = 6 \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$y''' = 6$

Paso 4

Obtén $y''''$ .

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Paso 4.1

Establece la derivada.

$y'''' = \frac{d}{d x} [6]$

Paso 4.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y'''' = 0$

Paso 5

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$0 = \frac{3 x^{3}}{x}$

Paso 6

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x$ de $3 x^{3}$ .

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x}$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x^{1}}$

Paso 6.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común.

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Paso 6.2.4

Reescribe la expresión.

$0 = \frac{3 x^{2}}{1}$

Paso 6.2.5

Divide $3 x^{2}$ por $1$ .

$0 = 3 x^{2}$

Paso 7

La solución dada no satisface la ecuación diferencial dada.

$y = x^{3}$ no es una solución para $y'''' = \frac{3 y}{x}$