Cálculo Ejemplos

$y = \sin (x) \cos (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (x) \cos (x))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = \sin (x)$ y $g (y) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d y} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \cos (y)$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$\sin (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x$ .

$\sin (x) (- \sin (x) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Paso 3.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Paso 3.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Paso 3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Paso 3.6

Suma $1$ y $1$ .

$- \sin^{2} (x) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Paso 3.7

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \sin (y)$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.8.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\cos (x) \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{1} (x) \cos (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.10

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \sin^{2} (x) x' + {\cos (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.12

Suma $1$ y $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 3.13

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x' = 1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x' = 1$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$ .

$- x' \sin^{2} (x) + x' \cos^{2} (x) = 1$

Paso 5.3

Factoriza $x'$ de $- x' \sin^{2} (x) + x' \cos^{2} (x)$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x'$ de $- x' \sin^{2} (x)$ .

$x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x)) = 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $x'$ de $x' \cos^{2} (x)$ .

$x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x)) = 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $x'$ de $x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x))$ .

$x' (- 1 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 1$

Paso 5.4

Reordena $- 1 \sin^{2} (x)$ y $\cos^{2} (x)$ .

$x' (\cos^{2} (x) - 1 \sin^{2} (x)) = 1$

Paso 5.5

Factoriza.

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Paso 5.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = \sin (x)$ .

$x' ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 1$

Paso 5.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$

Paso 5.6

Divide cada término en $x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ por $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ por $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ .

$\frac{x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $\cos (x) + \sin (x)$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Paso 5.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común de $\cos (x) - \sin (x)$ .

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Paso 5.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Paso 5.6.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$