Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} d x$

Paso 1

Sea $u = \tan (x)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $- d u = - \sec^{2} (x) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Paso 2.1.2

Reescribe la expresión.

$\int 1 (1 - u^{2}) d u$

Paso 2.2

Multiplica $1 - u^{2}$ por $1$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$u + C - \int u^{2} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 7

Simplifica.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$\tan (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$