Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{a - b y}} d y$

Paso 1

Sea $u = a - b y$ . Entonces $d u = - b d y$ , de modo que $- \frac{1}{b} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = a - b y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $a - b y$ .

$\frac{d}{d y} [a - b y]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a - b y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [a] + \frac{d}{d y} [- b y]$ .

$\frac{d}{d y} [a] + \frac{d}{d y} [- b y]$

Paso 1.1.2.2

Como $a$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $a$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- b y]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- b y]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- b$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- b y$ con respecto a $y$ es $- b \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - b \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - b \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - b$

Paso 1.1.4

Resta $b$ de $0$ .

$- b$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{- 1}{- b} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{- 1}{- b} d u$

Paso 2.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{b} d u$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{1}{b}$ por $\frac{1}{\sqrt{u}}$ .

$\int - \frac{1}{b \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{b \sqrt{u}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{b}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{b}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{b} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{b} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 5.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{b} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{b} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$- \frac{1}{b} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{b} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{b} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $- \frac{1}{b} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $- \frac{1}{b} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{b} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{b} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{b}$ .

$\frac{- 2}{b} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{b} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.2.4

Combina $u^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{b}$ .

$- \frac{u^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{b} + C$

Paso 7.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 u^{\frac{1}{2}}}{b} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $a - b y$ .

$- \frac{2 {(a - b y)}^{\frac{1}{2}}}{b} + C$