Cálculo Ejemplos

$\cos (x y) = 1 + \sin (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (\cos (x y)) = \frac{d}{d y} (1 + \sin (y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \cos (y)$ y $g (y) = x y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$- \sin (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- \sin (x y) (x + y x')$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sin (x y) x - \sin (x y) (y x')$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$- x \sin (x y) - y \sin (x y) x'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Paso 3.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $\cos (y)$ .

$0 + \cos (y)$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\cos (y)$ .

$\cos (y)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x \sin (x y) - y \sin (x y) x' = \cos (y)$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- x \sin (x y) - y \sin (x y) x'$ .

$- x \sin (x y) - y x' \sin (x y) = \cos (y)$

Paso 5.2

Suma $x \sin (x y)$ a ambos lados de la ecuación.

$- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$

Paso 5.3

Divide cada término en $- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$ por $- y \sin (x y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$ por $- y \sin (x y)$ .

$\frac{- y x' \sin (x y)}{- y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y x' \sin (x y)}{y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x' \sin (x y)}{y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $\sin (x y)$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Separa las fracciones.

$x' = \frac{1}{- y} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe $\frac{\cos (y)}{\sin (x y)}$ como un producto.

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.3

Escribe $\cos (y)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\frac{\cos (y)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.4

Simplifica.

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Paso 5.3.3.1.4.1

Divide $\cos (y)$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.4.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x y)}$ a $\csc (x y)$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.5

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.3.3.1.5.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{- 1 (- 1)}{- y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{1}{y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.6

Multiplica $- \frac{1}{y} (\cos (y) \csc (x y))$ .

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Paso 5.3.3.1.6.1

Combina $\cos (y)$ y $\frac{1}{y}$ .

$x' = - \frac{\cos (y)}{y} \csc (x y) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.6.2

Combina $\csc (x y)$ y $\frac{\cos (y)}{y}$ .

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.7

Cancela el factor común de $\sin (x y)$ .

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Paso 5.3.3.1.7.1

Cancela el factor común.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.7.2

Reescribe la expresión.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x}{- y}$

Paso 5.3.3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} - \frac{x}{y}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} - \frac{x}{y}$