Cálculo Ejemplos

$\sqrt{u} + \sqrt{v} = 5$

Paso 1

Reescribe el lado izquierdo con exponentes racionales.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$u^{\frac{1}{2}} + \sqrt{u'} = 5$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u'}$ como ${u'}^{\frac{1}{2}}$ .

$u^{\frac{1}{2}} + {u'}^{\frac{1}{2}} = 5$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d u'} (u^{\frac{1}{2}} + {u'}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d u'} \cdot 5$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $u^{\frac{1}{2}} + {u'}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u'$ es $\frac{d}{d v} [u^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d v} [u^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d v} [u^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ es $f' (g (u')) g' (u')$ donde $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ y $g (u') = u$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $u$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [u] + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [u] + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $u$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [u] + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d v} [u]$ como $u'$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.9

Combina $\frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $u'$ .

$\frac{u^{- \frac{1}{2}} u'}{2} + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.10

Mueve $u^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ es $n {u'}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u'}^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 3.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u'}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 3.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u'}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u'}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u'}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 3.3.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u'}^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 3.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u'}^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u'}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{{u'}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Como $5$ es constante con respecto a $u'$ , la derivada de $5$ con respecto a $u'$ es $0$ .

$0$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6

Resuelve $u'$

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Paso 6.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 u^{\frac{1}{2}}, 2 {u'}^{\frac{1}{2}}, 1$

Paso 6.1.2

Como $2 u^{\frac{1}{2}}, 2 {u'}^{\frac{1}{2}}, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $2, 2, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $u^{\frac{1}{2}}, {u'}^{\frac{1}{2}}$ .

Paso 6.1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 6.1.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 6.1.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 6.1.6

El MCM de $2, 2, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 6.1.7

El MCM de $u^{\frac{1}{2}}, {u'}^{\frac{1}{2}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.1.8

El MCM para $2 u^{\frac{1}{2}}, 2 {u'}^{\frac{1}{2}}, 1$ es la parte numérica $2$ multiplicada por la parte variable.

$2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2

Multiplica cada término en $\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.2.1

Multiplica cada término en $\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{u'}{u^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.3

Cancela el factor común de $u^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.2.2.1.3.1

Factoriza $u^{\frac{1}{2}}$ de $u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u'}{u^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{u'}{u^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$u' {u'}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.4

Multiplica $u'$ por ${u'}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.1.4.1

Multiplica $u'$ por ${u'}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.2.2.1.4.1.1

Eleva $u'$ a la potencia de $1$ .

${u'}^{1} {u'}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${u'}^{1 + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${u'}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${u'}^{\frac{2 + 1}{2}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.4.4

Suma $2$ y $1$ .

${u'}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${u'}^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.1.6.1

Cancela el factor común.

${u'}^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

${u'}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{{u'}^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.7

Cancela el factor común de ${u'}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.2.2.1.7.1

Factoriza ${u'}^{\frac{1}{2}}$ de $u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{{u'}^{\frac{1}{2}}} ({u'}^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.7.2

Cancela el factor común.

${u'}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{{u'}^{\frac{1}{2}}} ({u'}^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.7.3

Reescribe la expresión.

${u'}^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

${u'}^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} = 0 (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.3.1.2

Multiplica $u^{\frac{1}{2}}$ por $0$ .

${u'}^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} = 0 {u'}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.3.1.3

Multiplica $0$ por ${u'}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.3.1

Obtén un factor común $u^{\frac{1}{2}}$ que esté presente en cada término.

${({u'}^{\frac{1}{2}})}^{3} + u^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2

Sustituye $u$ por $u^{\frac{1}{2}}$ .

${({u'}^{\frac{1}{2}})}^{3} + u = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $u$

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Paso 6.3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({u'}^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${u'}^{\frac{1}{2} \cdot 3} + u = 0$

Paso 6.3.3.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

${u'}^{\frac{3}{2}} + u = 0$

Paso 6.3.3.2

Resta ${u'}^{\frac{3}{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - {u'}^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.4

Sustituye $u'$ por $u$ .

$u^{\frac{1}{2}} = - {u'}^{\frac{3}{2}}$

Paso 6.3.5

Resuelve $u'$

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Paso 6.3.5.1

Reescribe la ecuación como $- {u'}^{\frac{3}{2}} = u^{\frac{1}{2}}$ .

$- {u'}^{\frac{3}{2}} = u^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.5.2

Elimina los exponentes fraccionarios mediante la multiplicación de ambos exponentes por el mínimo común denominador (mcd).

${(- {u'}^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 6.3.5.3

Simplifica ${(- {u'}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.5.3.1

Aplica la regla del producto a $- {u'}^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({u'}^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 6.3.5.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {({u'}^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 6.3.5.3.3

Multiplica ${({u'}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({u'}^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 6.3.5.3.4

Multiplica los exponentes en ${({u'}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.5.3.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${u'}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 6.3.5.3.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.5.3.4.2.1

Cancela el factor común.

${u'}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 6.3.5.3.4.2.2

Reescribe la expresión.

${u'}^{3} = {(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 6.3.5.4

Simplifica ${(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.5.4.1

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.5.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${u'}^{3} = u^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 6.3.5.4.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.5.4.1.2.1

Cancela el factor común.

${u'}^{3} = u^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 6.3.5.4.1.2.2

Reescribe la expresión.

${u'}^{3} = u^{1}$

Paso 6.3.5.4.2

Simplifica.

${u'}^{3} = u$

Paso 6.3.5.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$u' = \sqrt[3]{u}$

Paso 7

Reemplaza $u'$ con $\frac{d u}{d v}$ .

$\frac{d u}{d v} = \sqrt[3]{u}$