Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Paso 1

Sea $x = 5 \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $25$ de $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $25$ de $- 25$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $25$ de $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $25 \tan^{2} (t)$ como ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $5 \tan (t)$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $5 \tan (t)$ de $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$\int 5 \sec (t) \sec (t) d t$

Paso 3

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec (t)) d t$

Paso 4

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 5 {\sec (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 6

Suma $1$ y $1$ .

$\int 5 \sec^{2} (t) d t$

Paso 7

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 8

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$5 (\tan (t) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$5 \tan (t) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$5 \tan (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$5 \tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$