Cálculo Ejemplos

$\int_{- 3}^{- 1} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{- 3}^{- 1} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 3}^{- 1} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int_{- 3}^{- 1} x^{- 2} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} x^{- 3} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{- 3}^{- 1})$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{- 3}^{- 1})$

Paso 8.1.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{- 3}^{- 1})$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $- x^{- 1}$ en $- 1$ y en $- 3$ .

$(- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1} - (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{- 3}^{- 1})$

Paso 8.2.2

Evalúa $- \frac{1}{2 x^{2}}$ en $- 1$ y en $- 3$ .

$(- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Paso 8.2.3

Simplifica.

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Paso 8.2.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Paso 8.2.3.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Paso 8.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- - 1 + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Paso 8.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Paso 8.2.3.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{- 3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Paso 8.2.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Paso 8.2.3.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Paso 8.2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - 1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Paso 8.2.3.9

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{2}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Paso 8.2.3.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Paso 8.2.3.11

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Paso 8.2.3.12

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 9})$

Paso 8.2.3.13

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{18})$

Paso 8.2.3.14

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{18})$

Paso 8.2.3.15

Escribe cada expresión con un denominador común de $18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.3.15.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{9}{2 \cdot 9} + \frac{1}{18})$

Paso 8.2.3.15.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{9}{18} + \frac{1}{18})$

Paso 8.2.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} - \frac{- 9 + 1}{18}$

Paso 8.2.3.17

Suma $- 9$ y $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{- 8}{18}$

Paso 8.2.3.18

Cancela el factor común de $- 8$ y $18$ .

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Paso 8.2.3.18.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2 (- 4)}{18}$

Paso 8.2.3.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.18.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 9}$

Paso 8.2.3.18.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 9}$

Paso 8.2.3.18.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} - \frac{- 4}{9}$

Paso 8.2.3.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} - - \frac{4}{9}$

Paso 8.2.3.20

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 1 (\frac{4}{9})$

Paso 8.2.3.21

Multiplica $\frac{4}{9}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{4}{9}$

Paso 8.2.3.22

Para escribir $\frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{9}$

Paso 8.2.3.23

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.2.3.23.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{9}$

Paso 8.2.3.23.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{4}{9}$

Paso 8.2.3.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \cdot 3 + 4}{9}$

Paso 8.2.3.25

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.25.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 + 4}{9}$

Paso 8.2.3.25.2

Suma $6$ y $4$ .

$\frac{10}{9}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{10}{9}$

Forma decimal:

$1.\overline{1}$

Forma de número mixto:

$1 \frac{1}{9}$

Paso 10