Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{5 x})}^{6 x}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{5 x} - \frac{1}{5 x})}^{6 x}$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x}$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe ${(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x}$ como $e^{\ln ({(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x})}$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x})$ ; para ello, mueve $6 x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{6 x \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \infty} 6 x \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}$

Paso 3.2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}$

Paso 4

Reescribe $x \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})$ como $\frac{\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}{\frac{1}{x}}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{6 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{6 \frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 1}{5 x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.1.2

Mueve el término $\frac{1}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.2.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.1.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.1.2

Divide $5$ por $1$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.5

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 - 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.2.5.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 - 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.2.5.2.1

Divide $5 - 0$ por $1$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} (5 - 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.5.2.2

Resta $0$ de $5$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.5.2.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.1.2.5.2.3.1

Cancela el factor común.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$e^{6 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.5.2.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Paso 5.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{5 x - 1}{5 x}$ .

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Paso 5.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{5 x - 1}{5 x}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{5 x - 1}{5 x}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{5 x - 1}{5 x}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{5 x - 1}{5 x}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{5 x}{5 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.4

Multiplica $\frac{5 x}{5 x - 1}$ por $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{5 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.5

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x - 1}{5 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{5 x - 1} \cdot \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.6

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{5 x}{5 x - 1}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{5 (5 x - 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{5 (5 x - 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.7.2

Reescribe la expresión.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.8

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 5 x - 1$ y $g (x) = x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [5 x - 1] - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.10

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.12

Multiplica $5$ por $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (5 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.13

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (5 + 0) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.14

Suma $5$ y $0$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x \cdot 5 - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{5 \cdot x - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{5 x - (5 x - 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.17

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{5 x - (5 x - 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.18

Multiplica $\frac{x}{5 x - 1}$ por $\frac{5 x - (5 x - 1)}{x^{2}}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (5 x - (5 x - 1))}{(5 x - 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.19.1

Factoriza $x$ de $(5 x - 1) x^{2}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (5 x - (5 x - 1))}{x (5 x - 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.19.2

Cancela el factor común.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (5 x - (5 x - 1))}{x (5 x - 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.19.3

Reescribe la expresión.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - (5 x - 1)}{(5 x - 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.20

Simplifica.

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Paso 5.3.20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - 1 \cdot 5 x - - 1}{(5 x - 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.20.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - 1 \cdot 5 x - - 1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.20.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.20.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.20.3.1.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - 5 x - - 1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.20.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - 5 x + 1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.20.3.2

Resta $5 x$ de $5 x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 + 1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.20.3.3

Suma $0$ y $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.20.4

Combina los términos.

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Paso 5.3.20.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{1} x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.20.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{1} x^{1} - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.20.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{1 + 1} - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.20.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{2} - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.20.4.5

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{2} - x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.20.5

Factoriza $x$ de $5 x^{2} - x$ .

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Paso 5.3.20.5.1

Factoriza $x$ de $5 x^{2}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \cdot 5 x - x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.20.5.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \cdot 5 x + x \cdot - 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.20.5.3

Factoriza $x$ de $x (5 x) + x \cdot - 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (5 x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.21

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (5 x - 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Paso 5.3.22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (5 x - 1)}}{- x^{- 2}}}$

Paso 5.3.23

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (5 x - 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (5 x - 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{x (5 x - 1)}$ y $x^{2}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} - \frac{x^{2}}{x (5 x - 1)}}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (5 x - 1)}}$

Paso 5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común.

$e^{6 lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (5 x - 1)}}$

Paso 5.6.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{6 lim_{x \to \infty} - \frac{x}{5 x - 1}}$

Paso 6

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{x}{5 x - 1}}$

Paso 7

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.1.1

Cancela el factor común.

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}}$

Paso 8.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}}$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}}$

Paso 8.2.2

Divide $5$ por $1$ .

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 - \frac{1}{x}}}$

Paso 8.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{1}{x}}}$

Paso 8.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{1}{x}}}$

Paso 8.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 8.6

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{5 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{5 - 0}}$

Paso 10

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{5 + 0}}$

Paso 10.2

Suma $5$ y $0$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{5}}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$e^{- 6 (\frac{1}{5})}$

Paso 11.2

Combina $- 6$ y $\frac{1}{5}$ .

$e^{\frac{- 6}{5}}$

Paso 11.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- \frac{6}{5}}$

Paso 11.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{6}{5}}}$