Cálculo Ejemplos

$x \sqrt{1 + x^{2}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.3

Mueve ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13

Combina fracciones.

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Paso 13.1

Combina $2$ y $\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13.2

Combina $\frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 17

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 17.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 17.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 17.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 19

Multiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 20

Para escribir ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22

Multiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 22.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 22.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 23

Simplifica ${(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + 1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 24

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 25

Reordena los términos.

$\frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$