Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}{x} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x}}{x} d x$

Paso 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}}{x} d x$

Paso 1.1.3

Factoriza $x^{\frac{1}{3}}$ de $x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $x^{\frac{1}{3}}$ de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x} d x$

Paso 1.1.3.2

Multiplica por $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{x} d x$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $x^{\frac{1}{3}}$ de $x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{6}} + 1)}{x} d x$

Paso 1.2

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x \cdot x^{- \frac{1}{3}}} d x$

Paso 1.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{1} x^{- \frac{1}{3}}} d x$

Paso 1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{1 - \frac{1}{3}}} d x$

Paso 1.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d x$

Paso 1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{3 - 1}{3}}} d x$

Paso 1.3.4

Resta $1$ de $3$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Paso 2

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{\frac{1}{6}} x^{- \frac{2}{3}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 4.3

Para escribir $- \frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 4.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.4.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 4.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\int x^{\frac{1 - 4}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 4.6.2

Resta $4$ de $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 4.7

Cancela el factor común de $- 3$ y $6$ .

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Paso 4.7.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\int x^{\frac{3 (- 1)}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 4.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.7.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 4.7.2.2

Cancela el factor común.

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 4.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 4.8

Multiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ por $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + 3 x^{\frac{1}{3}} + C$

Paso 9

Simplifica.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + C$