Cálculo Ejemplos

$\int {(e^{3 x} - 2)}^{2} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe ${(e^{3 x} - 2)}^{2}$ como $(e^{3 x} - 2) (e^{3 x} - 2)$ .

$\int (e^{3 x} - 2) (e^{3 x} - 2) d x$

Paso 1.2

Expande $(e^{3 x} - 2) (e^{3 x} - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{3 x} (e^{3 x} - 2) - 2 (e^{3 x} - 2) d x$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{3 x} e^{3 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 (e^{3 x} - 2) d x$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int e^{3 x} e^{3 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $e^{3 x}$ por $e^{3 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int e^{3 x + 3 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Paso 1.3.1.1.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$\int e^{6 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$\int e^{6 x} - 2 \cdot e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\int e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 4 d x$

Paso 1.3.2

Resta $2 e^{3 x}$ de $- 2 e^{3 x}$ .

$\int e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 4 d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int e^{6 x} d x + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = 6 x$ . Entonces $d u_{1} = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = 6 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 3.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{6} d u_{1} + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Paso 4

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Paso 6

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Paso 7

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 \int e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Paso 8

Sea $u_{2} = 3 x$ . Entonces $d u_{2} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{2} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 8.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2} + \int 4 d x$

Paso 9

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2} + \int 4 d x$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 4 d x$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 4$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 4}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Paso 11.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{4}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Paso 12

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{4}{3} (e^{u_{2}} + C) + \int 4 d x$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{4}{3} (e^{u_{2}} + C) + 4 x + C$

Paso 14

Simplifica.

$\frac{1}{6} e^{u_{1}} - \frac{4}{3} e^{u_{2}} + 4 x + C$

Paso 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $6 x$ .

$\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{u_{2}} + 4 x + C$

Paso 15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x} + 4 x + C$