Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{- 4 \sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

Paso 1

Mueve el término $- 4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 4 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{\sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{lim_{x \to - \frac{π}{3}} \sin (x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

Paso 3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- lim_{x \to - \frac{π}{3}} 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

Paso 5

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 1 \cdot 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

Paso 6

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \cos (x)}$

Paso 7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- \frac{π}{3}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{π}{3}$ para $x$ .

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- \frac{π}{3}$ para $x$ .

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- 4 \frac{\sin (\frac{5 π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Paso 9.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- 4 \frac{- \sin (\frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Paso 9.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{5 π}{3})}$

Paso 9.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{π}{3})}$

Paso 9.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 (\frac{1}{2})}$

Paso 9.2.4

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + \frac{5}{2}}$

Paso 9.2.5

Para escribir $- 8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}$

Paso 9.2.6

Combina $- 8$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}$

Paso 9.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2 + 5}{2}}$

Paso 9.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.8.1

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 16 + 5}{2}}$

Paso 9.2.8.2

Suma $- 16$ y $5$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 11}{2}}$

Paso 9.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{11}{2}}$

Paso 9.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{11}{2}}$

Paso 9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.5.1

Cancela el factor común.

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

Paso 9.5.2

Reescribe la expresión.

$- 4 (\sqrt{3} \frac{1}{11})$

Paso 9.6

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{1}{11}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{11}$

Paso 9.7

Combina $- 4$ y $\frac{\sqrt{3}}{11}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{11}$

Paso 9.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

Forma decimal:

$- 0.62983665 \dots$