Cálculo Ejemplos

$y = t \ln^{2} (1 t)$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$y = t \ln^{2} (1 t)$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (1 t))$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $t$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Multiplica $t$ por $1$ .

$\frac{d}{d t} [t \ln^{2} (t)]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = \ln^{2} (t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)] + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \ln (t)$ .

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Paso 4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\ln (t)$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$t (2 u \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (t)$ .

$t (2 \ln (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4

La derivada de $\ln (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{t}$ .

$t (2 \ln (t) \frac{1}{t}) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.5.1

Combina $\frac{1}{t}$ y $2$ .

$t (\frac{2}{t} \ln (t)) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.5.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.5.2.1

Combina $\frac{2}{t}$ y $\ln (t)$ .

$t \frac{2 \ln (t)}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.5.2.2

Combina $t$ y $\frac{2 \ln (t)}{t}$ .

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.5.2.3

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 4.5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.5.2.3.2

Divide $2 \ln (t)$ por $1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \cdot 1$

Paso 4.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.4.1

Multiplica $\ln^{2} (t)$ por $1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t)$

Paso 4.5.4.2

Reordena los términos.

$\ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$