Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{3}}{x - 1}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x^{3}}{x - 1})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = x^{3}$ y $g (y) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d y} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{3}$ y $g (y) = x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(x - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x - 1$ .

$\frac{3 \cdot (x - 1) x^{2} \frac{d}{d y} [x] - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} (x' + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} (x' + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Suma $x'$ y $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2}) x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x \cdot x^{2} x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.4.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.4.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9.4.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.4.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9.4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9.4.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3 x^{3} x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9.4.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} x' - 3 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9.4.2

Resta $x^{3} x'$ de $3 x^{3} x'$ .

$\frac{2 x^{3} x' - 3 x^{2} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9.5

Factoriza $x^{2} x'$ de $2 x^{3} x' - 3 x^{2} x'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.5.1

Factoriza $x^{2} x'$ de $2 x^{3} x'$ .

$\frac{x^{2} x' (2 x) - 3 x^{2} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9.5.2

Factoriza $x^{2} x'$ de $- 3 x^{2} x'$ .

$\frac{x^{2} x' (2 x) + x^{2} x' (- 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9.5.3

Factoriza $x^{2} x'$ de $x^{2} x' (2 x) + x^{2} x' (- 3)$ .

$\frac{x^{2} x' (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9.6

Reordena los factores en $\frac{x^{2} x' (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 5

Resuelve $x'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} = 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} = 1$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2} = 1 {(x - 1)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Simplifica $\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1.1

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1.1.1

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2} = 1 {(x - 1)}^{2}$

Paso 5.3.1.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} (2 x - 3) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Paso 5.3.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Paso 5.3.1.1.1.3

Reordena.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1.1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Paso 5.3.1.1.1.3.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$(2 x^{2} x - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Paso 5.3.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1.2.1

Mueve $x$ .

$(2 (x \cdot x^{2}) - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Paso 5.3.1.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(2 (x^{1} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Paso 5.3.1.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 x^{1 + 2} - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Paso 5.3.1.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$(2 x^{3} - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

$(2 x^{3} - 3 x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Paso 5.3.1.1.3

Simplifica mediante la multiplicación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{3} x' - 3 x^{2} x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Paso 5.3.1.1.3.2

Reordena.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1.3.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$2 x' x^{3} - 3 x^{2} x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Paso 5.3.1.1.3.2.2

Mueve $x^{2}$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = 1 {(x - 1)}^{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Multiplica ${(x - 1)}^{2}$ por $1$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Paso 5.4

Resuelve $x'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Simplifica ${(x - 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = (x - 1) (x - 1)$

Paso 5.4.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Paso 5.4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Paso 5.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 5.4.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 5.4.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 5.4.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Paso 5.4.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Paso 5.4.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - x - x + 1$

Paso 5.4.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

Paso 5.4.2

Factoriza $x' x^{2}$ de $2 x' x^{3} - 3 x' x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Factoriza $x' x^{2}$ de $2 x' x^{3}$ .

$x' x^{2} (2 x) - 3 x' x^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

Paso 5.4.2.2

Factoriza $x' x^{2}$ de $- 3 x' x^{2}$ .

$x' x^{2} (2 x) + x' x^{2} \cdot - 3 = x^{2} - 2 x + 1$

Paso 5.4.2.3

Factoriza $x' x^{2}$ de $x' x^{2} (2 x) + x' x^{2} \cdot - 3$ .

$x' x^{2} (2 x - 3) = x^{2} - 2 x + 1$

Paso 5.4.3

Divide cada término en $x' x^{2} (2 x - 3) = x^{2} - 2 x + 1$ por $x^{2} (2 x - 3)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.1

Divide cada término en $x' x^{2} (2 x - 3) = x^{2} - 2 x + 1$ por $x^{2} (2 x - 3)$ .

$\frac{x' x^{2} (2 x - 3)}{x^{2} (2 x - 3)} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' x^{2} (2 x - 3)}{x^{2} (2 x - 3)} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (2 x - 3)}{2 x - 3} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.2.2

Cancela el factor común de $2 x - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (2 x - 3)}{2 x - 3} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$x' = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{x \cdot - 2}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (2 x - 3)$ .

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{x \cdot - 2}{x (x (2 x - 3))} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{x \cdot - 2}{x (x (2 x - 3))} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{- 2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.2

Para escribir $\frac{1}{2 x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{2 x - 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 x - 3) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{2 x - 3}$ por $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{x}{(2 x - 3) x} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.3.2

Reordena los factores de $(2 x - 3) x$ .

$x' = \frac{x}{x (2 x - 3)} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{x - 2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.5

Para escribir $\frac{x - 2}{x (2 x - 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{x - 2}{x (2 x - 3)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 x - 3) x^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.6.1

Multiplica $\frac{x - 2}{x (2 x - 3)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x (2 x - 3) x} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.6.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{1} x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.6.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{1} x^{1} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{1 + 1} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{(x - 2) x + 1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x' = \frac{x \cdot x - 2 x + 1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x' = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.8.3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.3.3.8.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x' = \frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.8.3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 5.4.3.3.8.3.3

Reescribe el polinomio.

$x' = \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 5.4.3.3.8.3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$x' = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$