Cálculo Ejemplos

$\int (π - x) \cos (π x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = π - x$ y $d v = \cos (π x)$ .

$(π - x) (\frac{1}{π} \sin (π x)) - \int \frac{1}{π} \sin (π x) \cdot - 1 d x$

Paso 2

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{π}$ y $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) \cdot - 1 d x$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{π}$ y $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x)}{π} \cdot - 1 d x$

Paso 2.3

Combina $\frac{\sin (π x)}{π}$ y $- 1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x) \cdot - 1}{π} d x$

Paso 2.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{- 1 \cdot \sin (π x)}{π} d x$

Paso 2.5

Reescribe $- 1 \sin (π x)$ como $- \sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{- \sin (π x)}{π} d x$

Paso 2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int - \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - - \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + 1 \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Paso 4.2

Multiplica $\int \frac{\sin (π x)}{π} d x$ por $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{π}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{π}$ fuera de la integral.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \sin (π x) d x$

Paso 6

Sea $u = π x$ . Entonces $d u = π d x$ , de modo que $\frac{1}{π} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = π x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Paso 6.1.2

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$π$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Paso 7

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{π}$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{π}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{π}$ fuera de la integral.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{π}$ por $\frac{1}{π}$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π π} \int \sin (u) d u$

Paso 9.2

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1} π} \int \sin (u) d u$

Paso 9.3

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \sin (u) d u$

Paso 9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \sin (u) d u$

Paso 9.5

Suma $1$ y $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \int \sin (u) d u$

Paso 10

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Reescribe $(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C)$ como $\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u)) + C$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u)) + C$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{π^{2}}$ y $\cos (u)$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} - \frac{\cos (u)}{π^{2}} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π x$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} - \frac{\cos (π x)}{π^{2}} + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Reordena los factores en $\frac{\sin (π x) x}{π}$ .

$\sin (π x) - \frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{\cos (π x)}{π^{2}} + C$

Paso 13.2

Reordena los términos.

$\sin (π x) - \frac{1}{π} x \sin (π x) - \frac{1}{π^{2}} \cos (π x) + C$