Cálculo Ejemplos

$\int \arcsin (\cos (x)) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \arcsin (\cos (x))$ . Entonces $d u_{2} = - d x$ , de modo que $- d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \arcsin (\cos (x))$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\arcsin (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (\cos (x))]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\arcsin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} (- \sin (x))$

Paso 1.1.4

Combina $\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$ y $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Aplica la identidad pitagórica.

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x)}}$

Paso 1.1.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 1.1.5.3

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 1.1.5.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 1.1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1$

Paso 1.1.5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 4

Reescribe $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\arcsin (\cos (x))$ .

$- \frac{1}{2} {\arcsin (\cos (x))}^{2} + C$